逆矩阵

移动版  2019-06-03 10:14  来 源:  字号:

概括:这道题是怀谥媳同学的课后数学练习题,主要是关于逆矩阵,指导老师为韶老师。逆矩阵: 设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。 织梦内容管理系统

题目:逆矩阵

解:

矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1 copyright dedecms

那么AA^T=AA^-1=E 织梦好,好织梦

设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,

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那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn), 织梦好,好织梦

α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn 本文来自织梦

α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn 织梦好,好织梦

那么AA^T=( ...............)=E, dedecms.com

............... dedecms.com

αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn 内容来自dedecms

那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,

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也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

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同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

织梦好,好织梦

这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1

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还有没不明白的,欢迎追问~ 本文来自织梦

参考思路:

A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I,这个就是正交矩阵的定义,对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了 织梦内容管理系统

举一反三

例1: 什么情况下矩阵A的转置等于矩阵A的逆阵?书上说当A是正交阵时,A转置×A=I,可是反过来A*A转置就不等于I了,到底这时A转置等不等于A的逆阵?如果等,那为什么A*A转置不等于I?[数学练习题]


思路提示:

你大概误读了书的意思

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A正交时 AA'=A'A=I ,A’表示转置 本文来自织梦

例2: 逆矩阵等于转置矩阵是否仅当A为正交矩阵的时候这个命题才成立?[数学练习题]


思路提示:

是.

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A为正交矩阵←→AA'=E←→A^(-1)=A'. copyright dedecms

例3: 【什么情况下矩阵的转置等于矩阵的逆?RT】[数学练习题]


思路提示:

A是正交阵 本文来自织梦

例4: 矩阵伴随的转置等于矩阵转置的伴随[数学练习题]


思路提示:

(A*)^T的第(i j)元素=A*的第(j i)元=aji的代数余子式=A^T的第(i j)元的代数余子式=(A^T)^*的第(i j)元. dedecms.com

例5: 证明:A乘以A的转置等于零,那么A一定为零矩阵具体一点,谢谢了[数学练习题]


思路提示:

用最基本的方法:设A==(a ij)m*n 分块A==(A1,A2,...,An),Aj==(a 1j,a 2j,...,a mj)(j==1,2,...n)

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则T(A)==T(T(A1),T(A2),...,T(An))

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∴AT(A)==∑AjT(Aj)(j==1,2,...n) 显然Aj为m*1阵T(Aj)为1*m阵 故AT(A)必为m*m阵 内容来自dedecms

考虑乘积矩阵对角线的元有(a 1j)^2==(a 2j)^2==...==(a mj)^2==0

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故a 1j==a 2j==...==a mj==0.又j==1,2,...n

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∴a ij==0,i==1,2...,m,j==1,2,...n

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即A==O 得证 织梦好,好织梦

相关思考练习题:

题1:是不是所有矩阵都可逆

点拨:不是。 首先,只有方阵才可能可逆,不是方阵的矩阵无从谈他的逆。 其次,即使是方阵也未必可逆,因为矩阵可逆的充要条件之一是其行列式不为0,当矩阵的行列式等于0时,矩阵一定不可逆。

题2:二阶矩阵逆矩阵的公式是哪个

点拨:二矩阵求逆矩阵: 若ad-bc≠哦,则: 矩阵求逆,即求矩阵的逆矩阵。矩阵是线性代数的上要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。 设A是数域...

题3:逆矩阵的性质

点拨:性质: 1,可逆矩阵一定是方阵。 2,如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。 3,A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。 4,可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置) 5,若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去...

题4:A的转置矩阵的逆矩阵=A的逆矩阵的转置矩阵吗,为什么

点拨:等于,因为A的转制乘A逆的转制=(A逆乘A)的转制=E的转制=E,所以A的转制的逆等于A逆的转制

题5:求逆矩阵方法

点拨:求逆矩阵常用的有两种方法: 伴随阵法:A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式的值,A*为矩阵A的伴随矩阵。 行初等变换法:(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。 注意:初等变化只用行(列)运算,不能用列(... 转载请注明出处: http://www.10000uw.com/view-89303-1.html

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